Problemas do vazamento das torneiras: Concurso Prefeitura

• Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai 1 gota de 4 em 4 segundos, da segunda,1 gota de 6 em 6 segundos e da terceira 1 gota de 10 em 10 segundos. Exatamente às 2h cai 1 gota de cada torneira. O número de vezes em que as três torneiras pingam juntas, no intervalo de 2h 30s a 2h27min 30s é:

Solução:
Estamos  diante de um problema de modelagem de máximo divisor comum,para quem achava que MDC, só tem utilidade para simplificar frações,agora terá  oportunidadse de ver uma aplicação diferente, esse é um bom exemplo,para se mostrar como usar o MDC na resolução de problemas que não lembra nem de perto as frações,pelo menos na sua  forma canônica.

Vejamos: A diferença entre: 2h 30s e 2h27min 30s = 27 min. E 27 min = 27 x 60 = 1620s
1ª torneira vai pingar 1620 : 4 = 405 vezes nesse intervalo.
2ª torneira vai pingar 1620:6 = 270 vezes nesse intervalo.
3ª torneira vai pingar1620:10= 162vezes nesse intervalo.
Agora a questão é saber quantas vezes nesse intervalo elas vão pingar juntas.

Aqui entra o mdc(405;270;162) = 27, esse número representa o número de gostas em comum, ou seja as vezes que as torneiras pingam juntas.
Usando o dispositivo prático, ensinado na escola:
       1    2
     405 270 135
      270  0
      135

    1     5
   162 135 27
    27    0

Outra maneira de resolver esse problema:
Considerando o intervalo de 27 minutos.
Solução:
Devemos saber quantas gotas de cada torneira cai durante 1 minuto.

1minuto = 60 segundos:
1ª torneira = 60 : 4 = 15 gotas
2ª torneira = 60 : 6 = 10 gotas
3ª torneira = 60: 10 = 6 gotas
Agora devemos saber quantas gotas caem juntas das três torneiras.
O número que representa essa solução deverá ser um divisor comum de 15,10 e 6.
Achando os divisores D.
D15={1,3,5,15}
D10={1,2,5,10}
D6 ={1,2.3,6}

Podemos explorar outras possibilidade.
Da 1ª e da 3ª caí ao mesmo tempo no máximo 3 gotas.
Da 1ª e da 2ª cai ao mesmo tempo no máximo 5 gotas.
Da 2ª e da 3ª cai ao mesmo tempo no máximo 2 gotas.
Da 1ª,2ª e 3ª cai ao mesmo tempo no máximo 1 gota.

Podemos concluir que em 1 minuto, só pode cair 1 gota de cada torneira ao mesmo tempo.
em 27 minutos cairá: 27 x 1= 27 gotas.

Problema das Vacas

Vacas estão em dois pastos:


Pasto A e Pasto B
Sejam: n(A) =número de vacas do Pasto A e n(B)= número de vacas do pasto B.
Se passar uma vaca do A para o B; n(A) = n(B).
Se passar uma vaca do B para o A; n(A) = 2.n(B)


Qual o número n(A) e de n(B)?
Equacionando:
n(A) -1 = n(B ) + 1                         (1)
n(A) + 1 = 2.[n(B) -1]                     (2)
Resolvendo o sistema:
n(A) = n(B) + 2 , substituindo em  (2)  vem.:
n(B) + 2 + 1 = 2.[n(B) -1],
n(B) +3 = 2n(B) -2
n(B) = 3 + 2
n(B) = 5,
logo n(A) = 5 + 2 = 7


OBS. Esse problema caiu no concurso da Prefeitura.